線形空間と線形写像の基礎【線形代数学入門】

命題内に記載の加法と定数倍が定義されることは自明なため、定義に記載の7つの条件を確かめる。
任意に \((\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1), (\boldsymbol{ v }_2, \boldsymbol{ w }_2),\ (\boldsymbol{ v }_3,\ \boldsymbol{ w }_3) \in V \times W\)、および \(a,\ b \in \mathbb{R}\)を取る。このとき、線形空間 \(V,\ W\) が加法の結合律、交換律を満たすことより以下が分かる:

\begin{flalign*}
((\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1) + (\boldsymbol{ v }_2, \boldsymbol{ w }_2)) + (\boldsymbol{ v }_3, \boldsymbol{ w }_3) &= (\boldsymbol{ v }_1 + \boldsymbol{ v }_2, \boldsymbol{ w }_1 + \boldsymbol{ w }_2) + (\boldsymbol{ v }_3, \boldsymbol{ w }_3) \\
&= ((\boldsymbol{ v }_1 + \boldsymbol{ v }_2) + \boldsymbol{ v }_3 , (\boldsymbol{ w }_1 + \boldsymbol{ w }_2) + \boldsymbol{ w }_3) \\
& = (\boldsymbol{ v }_1 + (\boldsymbol{ v }_2 + \boldsymbol{ v }_3)) , \boldsymbol{ w }_1 + (\boldsymbol{ w }_2 + \boldsymbol{ w }_3)) \\
& = (\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1) + ((\boldsymbol{ v }_2, \boldsymbol{ w }_2) + (\boldsymbol{ v }_3, \boldsymbol{ w }_3)),
\end{flalign*}

\begin{flalign*}
(\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1) + (\boldsymbol{ v }_2, \boldsymbol{ w }_2) &= (\boldsymbol{ v }_1 + \boldsymbol{ v }_2, \boldsymbol{ w }_1 + \boldsymbol{ w }_2) \\
&= (\boldsymbol{ v }_2 + \boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_2 + \boldsymbol{ w }_1)\\
&= (\boldsymbol{ v }_2, \boldsymbol{ w }_2) + (\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1).
\end{flalign*}

また、\((0,0) \in V \times W\) が加法における単位元であることも容易にわかる（余力のある方は証明してみてください）。

最後に、定数倍に関する性質を示す。任意の \((\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1), (\boldsymbol{ v }_2, \boldsymbol{ w }_2)) \in V \times W\) および \(a,\ b \in \mathbb{R}\) に対して \(V,\ W\) が線形空間であることから、以下が成り立つ:

\begin{flalign*}
(a+b)(\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1) &= ((a+b)\boldsymbol{ v }_1, (a+b)\boldsymbol{ w }_1)\\
&=(a\boldsymbol{ v }_1 + b \boldsymbol{ v }_1, a \boldsymbol{ w }_1 + b \boldsymbol{ w }_1) \\
&=(a \boldsymbol{ v }_1, a \boldsymbol{ w }_1) + (b \boldsymbol{ v }_1, b \boldsymbol{ w }_1) \\
&=a( \boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1) + b(\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1),
\end{flalign*}

\begin{flalign*}
a((\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1) + (\boldsymbol{ v }_2, \boldsymbol{ w }_2)) &= a (\boldsymbol{ v }_1 + \boldsymbol{ v }_2 , \boldsymbol{ w }_1 + \boldsymbol{ w }_2) \\
&= (a(\boldsymbol{ v }_1 + \boldsymbol{ v }_2) , a(\boldsymbol{ w }_1 + \boldsymbol{ w }_2)) \\
&=(a\boldsymbol{ v }_1 + a\boldsymbol{ v }_2 , a\boldsymbol{ w }_1 + a\boldsymbol{ w }_2) \\
&=(a\boldsymbol{ v }_1 , a\boldsymbol{ w }_1) + (a\boldsymbol{ v }_2, a\boldsymbol{ w }_2) \\
&= a (\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1) + a (\boldsymbol{ v }_2, \boldsymbol{ w }_2) ,
\end{flalign*}

\begin{flalign*}
(ab)(\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1) &= ((ab)\boldsymbol{ v }_1, (ab)\boldsymbol{ w }_1) \\
&=(a(b\boldsymbol{ v }_1), a(b\boldsymbol{ w }_1))\\
&=a(b\boldsymbol{ v }_1, b\boldsymbol{ w }_1) \\
&=a(b(\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1) ),
\end{flalign*}

\begin{flalign*}
1(\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1) &=(1\boldsymbol{ v }_1, 1\boldsymbol{ w }_1)=(\boldsymbol{ v }_1, \boldsymbol{ w }_1).
\end{flalign*}

以上より、\(V \times W\) は線形空間であることが分かる。

任意に \(\boldsymbol{ x }={}^t\!(x_1, \ldots,x_n),\ \boldsymbol{ y } = {}^t\!(y_1,\ldots,y_n) \in \mathbb{R}^n\) および \(a \in \mathbb{R}\) を取る。また、 \(A = (a_{ij})_{ij}\) と表示しておく。このとき
$$
\begin{flalign*}
F_A(\boldsymbol{ x } + \boldsymbol{ y }) &= F_A({}^t(x_1+y_1,\ldots,x_n + y_n))\\
&=\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
x_1 + y_1 \\
\vdots \\
x_n + y_n
\end{array}
\right)\\
&=\left(
\begin{array}{c}
\dsum{n}{k=1}a_{1k}(x_k + y_k) \\
\vdots \\
\dsum{n}{k=1}a_{nk}(x_k + y_k)
\end{array}
\right) \\
&= \left(
\begin{array}{c}
\dsum{n}{k=1}a_{1k}x_k \\
\vdots \\
\dsum{n}{k=1}a_{nk}x_k
\end{array}
\right) +
\left(
\begin{array}{c}
\dsum{n}{k=1}a_{1k}y_k \\
\vdots \\
\dsum{n}{k=1}a_{nk}y_k
\end{array}
\right)\\
&= A \boldsymbol{ x } + A\boldsymbol{ y } = F_A(\boldsymbol{ x }) + F_A(\boldsymbol{ y })
\end{flalign*}
$$

であり、さらに

$$
\begin{flalign*}
F_A(a\boldsymbol{ x }) &= F_A({}^t(ax_1,\ldots.ax_n)) \\
&= \left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
ax_1 \\
\vdots \\
ax_n
\end{array}
\right)\\
&= \left(
\begin{array}{c}
\dsum{n}{k=1}a_{1k}(ax_k) \\
\vdots \\
\dsum{n}{k=1}a_{nk}(ax_k)
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{c}
a\dsum{n}{k=1}a_{1k}x_k \\
\vdots \\
a\dsum{n}{k=1}a_{nk}x_k
\end{array}
\right) \\
&= aA\boldsymbol{ x } = aF_A(\boldsymbol{ x })
\end{flalign*}
$$

が分かる。以上により、 \(F_A\) は線形写像であることが証明された。

\(F \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) が線形写像であることを仮定する。ある行列 \(A\) が存在して \(F=F_A\) となることを示す。まず、以下のように第\(i\) 行目が \(1\) であるベクトルを次の記号で表す:

$$
\boldsymbol{ e }_i :={}^t(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0).
$$

このとき、上記ベクトルの \(F\) による送り先を並べた行列を \(A\) とする。つまり以下の行列
\(A\) を考える:

$$
A := (F(\boldsymbol{ e }_1),\ldots,F(\boldsymbol{ e }_n))) := \left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}
\right)
$$
ここで、 \(F(\boldsymbol{ e }_i) := {}^t(a_{1i},\ldots,a_{ni}) \) と置いたことに注意する。

以下、\(F=F_A\) であることを示す。そのためには、任意のベクトル \(\boldsymbol{ x }={}^t(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n\) に対して、\(F(\boldsymbol{ x }) = F_A(\boldsymbol{ x })\) となることを証明すれば良い。ベクトル \(\boldsymbol{ x }={}^t(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n\) は \(\boldsymbol{ e }_i \ (1 \leq i \leq n)\) を使って

$$
\boldsymbol{ x } = \dsum{n}{i=1}x_i\boldsymbol{ e }_i
$$

と書けることに注意すると、\(F\) が線形写像であることから

$$
\begin{flalign*}
F(\boldsymbol{ x }) = F\left(\dsum{n}{i=1}x_i\boldsymbol{ e }_i\right) = \dsum{n}{i=1}x_iF(\boldsymbol{ e }_i) &= \dsum{n}{i=1}x_i {}^t(a_{1i},\ldots,a_{ni})\\
&= \left(\dsum{n}{i=1}a_{1i}x_i ,\ldots, \dsum{n}{i=1}a_{ni}x_i\right)
\end{flalign*}
$$

が分かる。また、上記の最後の式は、行列の積として以下のように変形できる:

$$
\left(\dsum{n}{i=1}a_{1i}x_i ,\ldots, \dsum{n}{i=1}a_{ni}x_i\right)=\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right) = F_A(\boldsymbol{ x })
$$

以上より、任意の \(\boldsymbol{ x } \in \mathbb{R}^n\) に対して \(F(\boldsymbol{ x }) = F_A(\boldsymbol{ x })\) が証明されたため、\(F=F_A\) である。

逆の主張についてはすでに証明済みのため、以上で題意が示された。